不敢说自己是人机关系专家，但办的事多了，有点小经验可以和楼主交流。
先抛开当前形势送礼合适不合适不论（我反对送礼，但国情是这就是个人情社会），楼主面临的问题，事实是公司领导和机关领导没有共同的利益结合部，从描述看，公司领导百分之一万是想通过楼主和机关领导建立联系进而保障自身利益（我推测这机关和公司是可以有利益交集的，不然你们领导不会这么猴急），但同时机关领导只是受亲戚所托办了个事，他对你们公司是没有利益诉求的（嗯，至少是廉洁的领导）。所以，你们领导交代你办的事，100%是完不成的。
楼主其实第一次表达得很好，和领导并不熟，这是标准的回答——但这在你们单位领导看来，你只是低调而已，他的想法是你不熟机关领导怎么会为你打招呼？
事实上楼主犯了个错误：在第一次亲戚和你一起去送礼领导都没收的背景下，你接受了公司过节送礼的任务。这里我详细点给你解读，你亲戚和你去送礼领导不收，两种可能：一是亲戚和领导熟（我倾向于这个）熟人间举手之劳的事没必要收；二是领导想收，但是你是陌生人，你在场不方便（以后再讲怎样从陌生人变成熟人吧）。你知道亲戚带路机关领导都不收礼，哪儿来的自信能替公司完成这个任务？当时楼主可以这样回答领导：“领导，这事儿可能有难度哦。以我对机关领导的有限了解，他是不会收礼的。”记住，拒绝了领导后要给他两个建议好让他二选一：“您看可不可以这样，一是如果公司有什么工作需要向他汇报，我试着看有没有机会向他提一下；二是如果您觉得还是有必要送礼，我可以试一下联系他，但是我担心反而给他留下我们公司不好的印象。”这看起来是两个建议，其实是一个，而且都比直接接受任务强。
